dividir el cero

En más de una ocasión habrás oído, o tu profesora o profesor de matemáticas te habrá dicho, que «no se puede dividir entre cero» (como desea Aladdín poder hacer en la viñeta anterior), pero también habrás escuchado que «un número dividido entre cero da infinito«.

¿Entonces?

¿En qué quedamos?

¿Se puede o no se puede?

• ¿Qué pasa cuando dividimos algo entre cero?
• ¿Por qué da infinito?
• ¿Y cuánto es 0 entre 0?

La cosa tiene su miga y aquí os la voy a contar.

Cuando aprendisteis a dividir en el cole, seguro te pensaste en la división, como en repartir algo entre partes iguales, o cortarlo en porciones. Ahí aparecieron las fracciones. El lío de sumarlas, la alegría de dominarlas.

Así, si tengo una tarta y la divido en cuatro partes, cada parte tiene de tarta,¼  o si divido tres litros de agua en ocho vasos, cada vaso tiene ⅜ de litro.

Pero vamos a pensar en la división de otra forma. ¿Cuánto es 1 dividido entre 2? Fácil, ½ . También llamado 0,5.

Es decir, que si multiplico 0,5 por 2 me da 1.  0,5 x 2 =1 

En realidad este truco funciona siempre. Calcular cuál es el resultado de dividir a entre b, es igual a encontrar un número que multiplicado por b resulte a.

Me sigues, ¿no?. Vamos a usar esto para saber por qué algo dividido entre cero “da” infinito.

Pongamos, por ejemplo, que ese algo es 1. En realidad da igual que ese número sea 1 o cualquier otro número. El razonamiento es el mismo. Vamos a dividir y a dibujar los resultados.

Veamos, ¿cuál es el resultado de dividir 1/2? Es un número que multiplicado por 2 da 1. Exactamente 0,5.

¿Pero qué pasa si lo dividimos por cosas más pequeñas?. Por ejemplo, ¿cuál es el resultado de dividir 1/ 1? Pues un número que multiplicado por 1 me de 1. ¿Adivinas cuál? Exacto, el 1.

Vamos a subir el listón. Enseguida vas a ver donde quiero llegar.

¿Cuál es el resultado de dividir 1 entre 1/2? Pues será un número que multiplicado por 1/2 me de uno. Y, ¿cuál es ese número? ¡El dos! Obviamente 2 por 1/2 da 1.

Vamos a dividirlo por algo aún más pequeño. ¿Cuál es el resultado de dividir uno entre 1/10? 10, que es mayor que 2.

De esta forma, según vamos dividiendo por números más pequeños, el resultado es un número cada vez más grande. De modo que podemos ir siempre acercándonos al 0. Y ¿qué significa esto? Pues que si 0 es el límite de los números por los que vamos dividiendo, el límite de los resultados es infinito. Y eso es justo lo que quiere decir que algo divido entre cero es infinito.

Sólo es una forma de hablar de límites, porque el infinito NO ES UN NÚMERO. Es una expresión de un límite. Quiere decir simplemente que dividir por un denominador mucho más pequeño que el numerador, da un resultado muy grande.

Bueno, pero entonces hay gente que se pone estupenda y dice: “ya claro, pero y que pasa si el numerador es cero.¡¿Eh, listo?!”

Como dices tu, el número por el que hay que multiplicar lo que sea para que te de 0 es cero. O sea que dividir 0 entre cualquier cosa da 0. ¿Y ahora qué?¿Cero entre cero da cero, o da infinito? ¡Aclárate!

Pero bueno, tranquilidad amigos. La respuesta fácil es que cero divido entre cero no está definido. Fin de la historia y a la cama sin cenar por preguntar tonterías.

Vale, está bien. Como aquí no nos gusta dejar las cosas sin responder, vamos a dar una respuesta más elaborada.

La división entre 0 es un límite. Ir dividiendo por números que se acercan cada vez más a 0.

Pensemos en el 0 del numerador, no como un número sino como el límite de una sucesión de números cada vez más pequeños.

Por ejemplo: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5. Es una sucesión posible, pero no es la única.

Que os parece: 1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25. Eso también tiende a cero, son números cada vez más pequeños.

Podemos pensar entonces también en el cero del numerador, como un límite de esos.

Si dividimos cada número de esta segunda sucesión por el que corresponde en la primera, los números que obtenemos son:

Cada vez más pequeños. O sea, 0 entre cero va a ser 0, porque los resultados son cada vez más pequeños.

Vale, pues ya tenemos la solución, ¿no? Ganan los que dicen que 0 partido por 0 es 0.

No tan rápido amiguito.

Y si lo hacemos al revés. Dividimos los números de la primera sucesión entre los de la segunda. Los resultados son:

O sea cada vez más grandes. Esta vez 0 entre 0 da infinito.

¡¡¡¿What?!!! ¿Pero de qué vas? ¿Dos resultados diferentes? Pues espérate, que vas a flipar.

Mira estas sucesiones. 

Son números cada vez más pequeños que tienden a cero. Si los dividimos entre:

El resultado es siempre 2. Todo el rato. Así que esto significa que en el límite de 0/0 es 2.

En realidad podemos elegir formas de acercarnos al 0, sucesiones de esas, de tal forma que al dividir los términos correspondientes, el resultado sea: LO QUE queramos.

Así que ya sabes , cuando alguien te pregunte cuanto es 0/0 le puedes decir el resultado que quieras. por Que es cierto.

luego te lo explico

luz en nuestro camino.